直感を裏切る確率：Birthdays Puzzle 再び

問題：23人が集まったある会合で二人の誕生日が同じ確率は？

この問題は「Birthdays Puzzle 同じ誕生日の確率」で取り上げた。以下は「同じ誕生日の人がいない確率」の算出方法。

この Birthdays Puzzle を、サイコロの目の出方で解説したのが Math Dude の「How to Solve the Famous Birthday Problem」。

「データ分析とは『非独立性の分析』」と主張したばかりだが、ここでは「独立事象」の確率計算。情けないことに、またしても間違ってしまった。間違った原因、更に「直感と異なる確率」となってしまう理由を考えてみた。

補足：この Birthdays Puzzle の答えは約51%なのだが、前回の投稿「Birthdays Puzzle 同じ誕生日の確率」では「誕生日は一様分布ではないので、同じ誕生日の確率はこの計算の結果より高くなる」と書いた。この点を再度考えみたが、一概に高くなるとはいえないようだ。同じ誕生日が極端に少ない日の生まれの人（「標本」）が集まった場合は、51%より下回る。「高くなる」とした元の記事は、そのままにしておく。

場合の数え上げ

問題１：サイコロを二回投げて同じ数が出る確率は？
問題２：サイコロを三回投げて全て同じ数が出る確率は？

問題１は 1/6 * 1/6 = 1/36 と一瞬考えたが、答えは 1/6。
問題２は 1/6 * 1/6 = 1/36 が答え。

問題３：３つのサイコロを投げて、少なくとも二つのサイコロが同じ目になる確率は？

この場合、二つのケースが想定される。

• 二番目に出た数が一番目と同じ場合。ここでのポイントは、三番目はどの数が出ても関係がない点。よって先述したように、この確率は 1/6。
• 二番目に出た数が一番目と異なる場合。二番目までの確率は (1 - 1/6) = 5/6。その後の三番目は、一番目か二番目の数のどちらかと同じ数になる確率で 2/6。この二つの同時確率は 5/6 * 2/6 = 5/18。

よって、この二つの確率を合計して 1/6 + 5/18 = 8/18 = 4/9、これが答え。


間違う理由

問題１を「1/36」と考えてしまった理由は

特定の数、例えば「６」が二回続けて出る確率

としたから。この問題では、一番目に出る数は何でも良い。

問題３で間違ったのは、「二つ同じ目になる確率」と「 三つ同じ目になる確率」で 1/6 + 1/36 = 7/36 としたこと。しかし、これら二つの確率を足しても問題の答えにはならない。

少し堅苦しい表現で説明すると

　「二つ同じ目になる」と「 三つ同じ目になる」は独立の事象ではない

要するに

　「三つ同じ目になる」に「二つ同じ目になる」が含まれている

とすれば、誤りの理由がイメージしやすかもしれない。

つまり問題３の二つのケース

• 二番目に出た数が一番目と同じ場合、この確率は 1/6
• 二番目に出た数が一番目と異なる場合、この確率は 5/18

は「独立の事象」（この二つは同時に起こらない）なので、二つの確率を足したものが求める確率となる。


もっと簡単な解法（余事象）

別解、すなわち「Yet Another 選択肢」は大切。

問題３を、額面通り「３つのサイコロを投げて、少なくとも二つのサイコロが同じ目になる確率」を求めたのが先の解法。しかし、確率の重要な定理「1 - p(X) = Xではない確率」を使えば、もっと容易に解ける。

つまり

100% - 「３つのサイコロが全て違う数になる確率」 = 求める確率

「３つのサイコロが全て違う数になる確率」は

• 二番目のサイコロが一番目と違う数になる確率：1 - 1/6 = 5/6
• 三番目のサイコロが一、二番目と違う数になる確率：1 - 2/6 = 4/6

この二つの同時確率は 5/6 * 4/6 = 5/9

よって

　求める確率 = 1 - 5/9 = 4/9


直感が頼りない訳

冒頭の Birthday Puzzle の解法のポイントは次の二つ

• 特定の誕生日は想定しない
• 1 - p(X) = Xではない確率

冒頭の計算

この式をイメージすることまではできるが、暗算では近似値すら求めるのは難しいのが、多くの人の意見だろう。高々「0.0 から 1.0」の計算なのにね（笑）

これが「直感と異なる確率」の原因の一つと考える。しかし、計算すれば分かるのだ。逆に計算しないと、いつまでも「頼りない直感に頼るしかない」のである。