Cheryl's Birthday の Deduction

Albert と Bernard が Cheryl の誕生日を当てる問題。A, B, C から付けたと思われる名前は英語のままにしておく。Alice と Bob は良く使われた名前だね。そもそもカタカナ表記は発音上おかしいので、私が嫌なのもある。

この問題は、2015年の Math Olympia にて投稿されたもの。

Cheryl's Birthday is the unofficial name given to a mathematics brain teaser that was asked in the Singapore and Asian Schools Math Olympiad, and was posted online on 10 April 2015 by Kenneth Kong.   Wikipedia

ここでは、Math Dude の投稿「The Infamous "Cheryl's Birthday" Puzzle」を元にする。

Cheryl's Birthday

問題：Cheryl は Bernard に内緒で Albert に誕生日月を教えていた。また、Albert には内緒で Bernard に誕生日の日にちを教えていた。Cheryl の誕生日が含まれる、以下の誕生日リストが Albert と Bernard に配られた。

May 15, May 16, May 19
June 17, June 18
July 14, July 16
August 14, August 15, August 17

このリストを見てからの二人の会話は

Albert: “I don’t know it, but I know that you don’t know it either."
　　　A#1：俺は誕生日は知らない、でもお前も知らないことは知ってる。
Bernard: “Before you said that I didn’t know it, but now I do!"
　　　B#1：お前がそんなことを言う前は俺は知らなかった、でも今では分かったよ。
Albert: “If you know it, then I know it!"
　　　A#2：お前が知ってるなら、それなら俺も分かったよ。

この二人会話から Cheryl の誕生日が分かります。


回答のヒント

もちろんこんなヒントは、実際 Math Olympia ではなかったが、これは Math Dude からのアドバイスです。

The secret to solving this logic puzzle is to ignore the question posed and instead think about the opposite question. Which means that instead of figuring out when Cheryl’s birthday is, we need to figure out when Cheryl's birthday is not. 

回答のヒントは「質問の逆」を考えること。つまり、Cheryl の誕生日ではなく、誕生日ではないない日をかんがえること。

私は、中盤までは分かったが、途中「あれ？あれ...？」となって自力での回答は無理だった。Math Dude の解説を読みながらも「むぅ〜？」なったが、何とか分かった。


Albert が知っていること

A#1 より、Albert は「日にちを知っている Bernard でも誕生日は知らない」と断言。これで消去できる誕生日月がある。May と June です。

May 15, May 16, May 19
June 17, June 18
July 14, July 16
August 14, August 15, August 17

Albertが確証を持って「Bernard は知らない」と言える理由を考える。

「May 19」「June 18」のいずれかが正解なら、日にちを教えてもらった Bernard は答えが分かることになる、19 と 18 はリストで一度しか現れないから。しかし「Bernard は知らない」と確証できるのは、誕生月を知っている Albert が、その月が「May でも June でもない」と知っているから。

先の Math Dude のヒントは「消去法」ですね。


Bernard が知っていること

B#1 で、Albert の「どちらとも知らない」の発言を受けた Bernard は「答えが分かった」となった。この事実からリストから消去できる誕生日を考えます。

Albertの発言から Bernard も「July か August が正解」と推測。その後に Bernard が答えが分かるには、July 14 と August 14 は候補から外れる。

July 14, July 16
August 14, August 15, August 17

何故だろうか？


Cheryl の誕生日

B#1で Bernard が誕生日が分かったと宣言した理由は、ダブりがある14日ではない日にちだから。つまり「日にちだけを知っている Bernard が迷う必要がない日にち」で 14日が候補から消えて、残すはダブりのない日にちだけ。「日にちを知っている Bernard」は迷わず正解を選べる。

残された3つの誕生日候補があるこの時点では、我々には正解は導き出せない。しかし、A#2 の最後の Albert の発言で正解は分かる。

Bernard の発言の後、Albert も「分かった」となったのは何故か？ 「分かった」とならない場合を考えると答えが出る。

すなわち、誕生日月を知っている Albert なので、仮に August であったら二つの可能性が残ってしまうので「分かったとはならない」。よって、選択肢が一つしかない July が Albert の知っている月であり、答えは July 16 です。

「データ分析に不可欠な Induction と Deduction」に続く。