Metric 予測 by 複数 Metric：掛算の効果

「複数 Predictors の実装例」からの続き。

本書 "18.2 Multiplicative interaction of metric predictors" から。

interaction は「交差」と訳されるようだが、ここでは英語表記を使用する。「additive ではない interaction」は、以下の具体例からそのイメージは掴める。

例1：2 つの薬 A, B で、B の服用効果が positive なのは、A の服用が少ない場合。つまり、A の服用が多い場合は、B の服用効果は negative 。

Thus, the effects of the two drugs are not additive, and the effect of a drug depends on the level of the other drug.

2 つの薬の効果は additive ではなく、ある薬の効果は別の薬の服用具合に依存する。 

例2：人の「幸福度」を収入と健康から予測。健康でない場合、収入の増加は「幸福度」にそれほど大きく影響しないと予想される。ところが、健康であれば、収入の増減は「幸福度」に影響するだろう。

以下は、2 つの predictor による multiplicative interaction を含む式。

μ = β₀ + β₁ x₁ + β₂ x₂ + β_1x2 x₁x₂  ... (18.2)

= β₀ + ( β₁ + β_1x2 x₂ ) x₁ +  β₂ x₂         ... (18.3)

= β₀ + β₁ x₁ + ( β₂ + β_1x2 x₁ ) x₂          ... (18.4)

これら 3 式を図示したのが以下の図 18.8 。全く同じプロットを「別の傾きの見地」から解釈している。

y = 10 + -1x₁ + 2x₂ + (0.2) x₁x₂ の左図で、垂直の矢印線は (0.2)x₁x₂ を示す。つまり y = 10 + -1x₁ + 2x₂ の平面を矢印のように「持ち上げた」イメージ。

中央図の y = 10 + (-1 + 0.2x₂) x₁ + 2x₂ の「濃い黒線」は the slope in the x₁ direction depend on the value of x₂ を表す。値を代入して具体的な「傾き」をイメージすると理解し易い。例えば、

　x₂ = 0  場合： β₁ + β_1x2 x₂  = -1 + 0.2 x 0 = -1
　x₂ = 10 場合： β₁ + β_1x2 x₂  = -1 + 0.2 x 10 = 2

この傾き -1, 2 は、黒線の傾き具合からも確認できる。

同様に右図の y = 10 + -1x₁ + (2 + 0.2x₁) x₂ の場合は

　x₁ = 0  場合： β₂ + β_1x2 x₁  = 2 + 0.2 x 0 = 2
　x₁ = 10 場合： β₂ + β_1x2 x₁  = 2 + 0.2 x 10 = 4

傾きが 2, 4 を、黒線の傾きの変化（the slope in the x₂ direction changing when x₁  changes）から確認できる。

以上から、重要なポイントは

It is important to realize, and visualize, that the interaction can be expressed in terms of the slopes on either predictor. 

interaction は、どちらの predictor の傾きの見地からでも表すことが できる。

「掛算の効果（実装例）」に続く。