不定積分の公式一覧

不定積分、原始関数、定積分 からの続き。

本投稿は、長野裕之著「ふたたびの微分・積分」をもとにした。

ふたたびの微分・積分

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永野 裕之
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「不定積分の公式のいろいろ(P.245)」から。

「微積分の基本定理」より、積分は微分の逆演算なので、微分の結果を逆にたどれば積分が求まります。

次が、不定積分が求まる（原子関数が求まる）7 種類の関数。

このうち (7) について。

対数関数の微分

1/x の積分が logx ではなく log| x | になる理由。

対数の真数（logx の x）は常に正（参照：対数関数と指数関数、Log Odds）だが、1/x が負になることもあるので、次のように考える。

x < 0 のとき：{log(-x)}' = (1/-x)・(-x)' = (1/-x)・(-1) = 1/x

　補足：{log(-x)}' = (1/-x)・(-x)' 
　合成関数の微分で「外の微分・中の微分」から y = log(-x), u = -x とすれば

　　y' = dy/dx = dy/du・du/dx = (d/du)logu・(d/dx)(-x) = (logu)'・(-x)'

x > 0 のとき、対数関数の微分より (logx)' = 1/x

以上から

　　∫ (1/x)dx = logx + C [x > 0]
　　∫ (1/x)dx = log(-x) + C [x < 0]

よって ∫ (1/x)dx = log| x | + C

置換積分法 に続く。

/* tex P247 */