ベイズの基礎：Topic14 独立性の検証

Topic14 Two-Way確率テーブル からの続き。

このブログで少なくとも２回は取り上げている「独立性」について、今回は「Two-Way 確率テーブル」を用いて述べる。「独立性の有無」に拘るのは「データ分析とは『非独立性の分析』」の裏返しだから。

本投稿も前回同様 Workshop Statistics: Discovery with Data, A Bayesian Approach の Topic 14: Two-Way Probability Tables を元にした。


独立の例

Activity 14-4: Independent Events. (P.310) を元にした。

偏りのないコインを 2 回投げる試行を 1,000 回行ったのが次の表。

偏りのないコインを 2 回投げる試行を 1,000 回行ったのが左の表。次の確率を求める。

　a. 2 回目に裏が出る確率
　b. 1 回目が表の場合、2 回目に裏が出る確率

答え：
　a. (234 + 239) / 1000 =  0.473
　b. 234 / (261 + 234) =  0.4727273

ほぼ同じ値です。このことから、1 回目が表であっても、2 回目に裏が出る確率に影響しないことが伺える。つまり、この a, b の事象は独立（約 0.0003 偏って見えるのは無視）。

この問題を、次のように試行しないで、偏りのないコインという条件でセルを埋める。各250 は 1 でもなんでも良い。この表で先の問題を解く。

　a. 500/1000 = 0.5 （オレンジ枠）
　b. 250/500 = 0.5　（赤枠）

どちらも同じ確率の 50% で a, b の独立性は明確。


非独立の例

Independent Events (P.311) を元にした。

今回はコインより若干複雑なトランプゲーム「ブリッジ」で検証する。

　ルール：持ち手のカードの合計点の高さを競う
　エース：3点、キング：3点、クイーン：2点、ジャック：1点、その他：0点

1,000 回記録した持ち手の合計点と、エースの数の一覧が以下。

次の確率を求める。

　a. 合計点が 8 から12 点の確率
　b. エースが 2 枚あった時、合計点が 8 から12 点の確率

先のコインの例同様に、この二つの確率が同じであれば、a, b の事象は独立、異なれば非独立。少し冗長に、ベイズ的な用語を交えて言い換えると

エースが 2 枚（ある知識／情報）は、合計点が 8 から12 点の確率（別の事象）を変化させない／確率に影響しない

答え：
　a. (78 + 281 + 81 + 2) / 1000 = 0.442
　b. 81 / (81 + 127 + 2) ≈ 0.386

a, b の確率は異なり、この二つの事象は「独立ではない（依存している）」となった。

ポーカーをはじめ、多くのトランプゲームは「確率を計算できれば勝てる」とは分かっていたが、ここまでシッカリ計算したことはなかった。ただ、本当に確率を使って勝ちたい場合は、これらの計算を暗算する必要がある。たとえ暗算ができたとしても、状況を記憶する方が困難だろう。

前回の Two-Way 確率テーブル で「まとめの要約」で記したように、「Two-Way 確率テーブル」を使えば

• ある行や列に限定して条件付確率を計算
• その条件付確率からある事象と別の事象の依存具合を理解できる

こんなテーブルを使わなくても、独立性の検証はできるが、テーブルで明確になるのも事実。行数や列数が増えた場合でも、視覚的に条件付確率を容易に算出可能。

課題15-2 不正なサイコロ？ に続く。