ベイズの基礎：課題15-7 どっちの鞄？

課題15-4&5 事後確率 = 事前確率 x 尤度 からの続き。

本テキストの Activity 15-6 以降は HOMEWORK ACTIVITIES で、これまでの課題の復習となっている。先の課題と概ね同じものは取り上げない。


Activity 15-7: Which Bag?

課題：二つの鞄がある。一つには白玉が 4 個入っている「white bag」、もう一方には白玉 2 個、黒玉 2 個が入っている「mixed bag」。鞄の玉の出方から、どちらの鞄であるかの確率を求める。一度取り出した玉は元に戻す。

ここでは 3 回の玉の取り出しを行い、確率が更新される様子を見る。

どちらの鞄を選んだのか不明なので、事前確率は左のようになる。


第一回目：白玉

300 回の試行の場合、各鞄で玉の数の出方は左の一番目の表になる。今回は白玉が出たので、その表の white 列から white bag である事後確率は

　150 / 225 ≈ 0.67

第二回目：白玉

第二回目の試行の事前確率は、左のように「前回の事後確率」。この更新された事前確率で、300 回試行した玉の出方は二番目の表、次のように算出：

事前確率 0.67=2/3, 0.33=1/3 から、TOTAL 行は 200=300*(2/3), 100=300(1/3), その後 white と black 行を玉の色の割合で求める。

白玉が出たので、white bag である事後確率は

　200 / 250 = 0.8


第三回目：白玉

同様に更新された事前確率 0.80 を使い、再び白玉が出たことから事後確率は

　240 / 270 ≈ 0.89


この課題では、一度黒玉が出れば 100% mixed bag になる。その場合はそれ以上の試行は不要で「mixed bag 確定」となる。

全体の玉の割合から白玉は出やすいのは明らかだが、白玉が出たとしても white bag の 100% の確証はできない。とはいえ、この課題のように白玉の出る回数が増えるごとに、徐々に white bag である確率は上昇する。

「課題15-9 尤度 = 確率(モデルが真の時にデータ出現)」に続く。