ベイズの基礎：課題16-1 機械は停止すべきか？

課題15-15,17,18 現実的な課題たち からの続き。

読み始める前は、このテキストは Topic15 だけの予定だった。ところが、すでに Topic14 もやったし、Topic16 をざっと読むとベイズの話が続いているし、タイトルも Learning About a Proportion と気になる。何といっても、相変わらず課題が面白い。

ということで課題16にも引き続き取り組むことにした。


Activity 16-1: Is the machine working?

課題：ある部品を製造する機械がある。部品の「不良率が 50% になりやすく」なった場合、機械の運転を中止する方針にしてる。機械が良好な場合、不良率 25%である。

１時間に１回、製造した部品検査を４回行って次の結果を得た。機械を停止すべきだろうか？

まずは「事前確率」を決める。

工場長の経験から、90% の割合で機械は良好と判断して、左のように決定する。

4回の検査結果から「事前確率×尤度」で「事後確率」が求まる。

左は、検査結果の順番で事後確率を更新していった模様。

事前確率「P(.75) = 0.9, P(.5) = 0.1」は、4 回の検査結果を受けて、次の事後確率になった。

　P(.75) = 0.628
　P(.5)   = 0.372

機械の停止条件の「不良率が 50% になりやすくなった」の解釈に依るが、機械の状態が P(.5) に陥っている確率が 50% を下回っているので「なりやすくなっていない」という判断もできる。「P(.5) である確率が 30% を越えたら」を条件とするならば、この時点で機械は停止となる。


一発での求め方

この４回の検査結果による事後確率を、上記のように検査の順で求まるが、以下のように尤度を求めて一度に算出できる。

LIKELIHOOD = PROB(acc) × PROB(def) × PROB(def) × PROB(def)

尤度 = P(正常) × P(故障) × P(故障) × P(故障)

「モデル .75」の尤度 = 0.75 × (1 - 0.75) × (1 - 0.75) × (1 - 0.75) 
　　　　　　　　   　 ≈ 0.012
「モデル .5」の尤度 = 0.5 × (1 - 0.5) × (1 - 0.5) × (1 - 0.5) 
　　　　　　　 　　 ≈ 0.063

左のように、同じ結果を得られる。

「50% に達した時点」が重要ならば、検査毎に確率を算出すべきだが、４回の検査全部で算出する場合は、このように一度に求める方が効率的。その場合、検査結果の出方の順番は無関係ということも分かる。

課題16-2 何割打者か？ に続く。