ベイズの基礎：事前確率に一様分布

課題19-1 連続型なら塗りつぶし からの続き。


Learning About a Mean Using a Uniform Prior

一様分布を事前確率にして平均値を推定する。

課題18-10 で、妻の平均年齢モデルを { 25, 26, ..., 39, 40 } とした。これは「discrete prior 離散型事前確率」で、平均年齢は 25, 26, ... と離散した値のみ。

「continuous prior 連続型事前確率」を検討する。

左のように、ある地域で結婚している男性の平均年齢を「15 から 80歳」と見積もった。この年齢は、20.12歳、34.15435歳 などを含む「連続型」。そして「どの年齢も同様にあり得る」として「フラットな分布」である「uniform prior 一様事前確率」とした。

以下の無作為抽出したデータから事後確率分布を求める。

x <- c(22,38,31,42,23,55,26,24,19,42,34,31)

事後確率は正規分布と想定されるので、離散型モデルで推定した「正規分布による推定」と同様の尤度式を使う（左式）。ここで、特徴的なのは次の事前確率：

PRIOR = 1

よって事後確率は

POST  = PRIOR × LIKE = 1 × e^−z2/2  = e^−z2/2

となる。つまり一様分布の事前確率の場合、事後確率は正規分布式の z に決定。それは、平均値と標準偏差を求めることになる。

平均値　：mean(x) = 32.25
標準偏差：h / √n = 10 / √12 = 2.89
h は予め分かっている標準偏差 10、n は観測値の個数

curve(dnorm(x,32.25,2.89),
  from=20,to=45,n=100,
  xlab="M",ylab="",
  main="Post Curve for Mean Age of Grooms")


標準誤差

ここで標準偏差とした h / √n とは Central Limit Theoremの例題 で記した

SE (Standard Error)、つまり「標準誤差」である。

課題19-4 標準偏差不明時の推定 に続く。