ベイズの基礎：The Monty Hall Problem

Allen B Downey の "Think Byaes" の "1.7 The Monty Hall Problem" から。

「モンティホール問題の別解」でベイズ的な解法を紹介したが、今回はベイズの基礎でやった Two-Way テーブルを使って解く。

以下の参照のように、実はこの問題はベイジアン無しで解ける。そちらの方が理解しやすいかもしれない。

　参照：「The Monty Hall Problem モンティホール問題」「The Monty Hall Problem 再び」

本書でも次のように記されている。

I included the Monty Hall problem in this chapter because I think it is fun, and because Bayes’s theorem makes the complexity of the problem a little more manageable. But it is not a typical use of Bayes’s theorem, so if you found it confusing, don’t worry!

ゲームの参加者がドアAを選んだ状態から、以下の Posterior の算出をする。

#0
行はモデル A, B, C 、それぞれのドアに商品がある確率が Prior で各 1/3 の確率。

観測データ「D」の考え方は、参加者がドアAを選択済みなので、Monty が選ぶドアは B か C のみ。今回 Monty は「ドアBを選んだ」を観測データとする。よって

　D：Monty がドアBを選び、ドアBには商品がない

「観察データ」と書いたが「実際の Monty の動き（事実）」ということ。

各 Likelihood を算出。

#1 ドアAに商品がある場合
Monty が選ぶドアは B, C なので、ドアBを選ぶ確率は 1/2 。商品はドアAにあるので、ドアBに商品がない確率は 1。よって p(D|H) =  1/2 × 1 = 1/2 。

#2 ドアBに商品がある場合
Monty は商品があるドアは選ばないので、ドアBが選ばれることはない、よって p(D|H) = 0 。

#3 ドアCに商品がある場合
ドアAは視聴者が選択済みなので、Monty が選択できるのはドアBのみで p(D|H) = 1 。

#4 尤度の計算
各モデルの p(H)p(D|H) は 1/3 × 1/2 = 1/6, 1/3 × 0 = 0, 1/3 × 1 = 1 、合計すると 1/2 。よって

p(A|D) = 1/6 ÷ 1/2 = 1/3
p(B|D) = 0
p(C|D) = 1/3 ÷ 1/2 = 2/3

閉じたドアA, C に商品がある確率は 1/3, 2/3 で、ドアCが高い。よってドアAから変更すべき、となる。

Monty の動きをドアCに変えても同じ。

　D：Monty がドアCを選び、ドアCには商品がない

p(B|D) = 1, p(C|D) = 0 が入れ替わるだけで、閉じたドア A, B に商品がある確率は 1/3, 2/3 で、2/3 のドアBに変更すべき、となる。