二項分布の例題：2度目の Jackpot の確率

「8 人の子供が全員男の確率」からの続き。

どんなにお金が あったって

今より幸せに なれるはずがない

宝くじは買わない だって僕は

お金で買えないものをもらったんだ

By 忌野清志郎

例 4.22：米国女性が 2 度目の一等宝くじ

この報道によれば、この出来事は 200,000,000,000,000 (20 億 の 10 万倍) 回に 1 回の確率、だそうです。しかしながら、これも誤り、嘘です。

この 20 年間の米国宝くじのデータをもとにすると

一週間の宝くじ販売枚数：120,000,000 (120 millin)
ある週で一等を引く確率：1/7,000,000 (one in 7 million)
一週間で宝くじ人の数　：60,000,000 (60 millin)

この 6 千万人（60 million）の各人が 20 年間で買った宝くじの枚数を 1,000 とする。以上の条件で、ある人が一等を 2 度引く確率は

P(one player wins twice) 

= Binominal(n = 1000, r = 2, p = 1/7 million) 

= ₁₀₀₀ C ₂ (1/7 million)² (1 - 1/7 million)⁹⁹⁸ 

= 499500  (1/7 million)² (1 - 1/7 million)⁹⁹⁸

> choose(1000,2)*(1/(7*10^6))^2*(1-1/(7*10^6))^998
[1] 1.019242e-08

1.02 × 10^-8 、約 102,000,000（1 億 2 千万）回に 1 回という低い確率。しかし、これは「どんな人」の確率ではない。any player ではなく one player なのだ。

以下が、ここでの重要な考え方

n 回試行で、確率が p の出来事が、少なくとも 1 回起こる確率

一度も起こらない確率は (1 - p)ⁿ 、よって求める確率は 1 - (1 - p)ⁿ

先に求めた P(one player wins twice) = 1.02 × 10^-8 は「ある一人の確率」なので、20 年間で宝くじを買った 60 million の人のうちで 誰かが  2 度一等を 引かない 確率は

　(1 - 1.02 × 10^-8)^60,000,000 =  0.5422653

よって、求める確率は

> 1 - (1 - 1.02 * 10^-8)^60000000
[1] 0.4577347

46 % 、全くもって「普通に起こる」確率でした。


今回のように確率が計算できるに越したことはないが、概算でも構わない。そして「any person か one person か」等の、確率の限定具合を正確に把握することは、極めて重要だ。

とはいえ、確率を計算しないまでも、センセーショナルな数字を持ち出している場合、誤った内容とみてよいだろう。大抵は、内容的に嘘、もしくは「そりゃ当たり前でしょ？」という主張に過ぎない。

「全米が涙した」とかいう表現が「論外」なのはいうまでもない。