階層型モデル：Multiple Coins From A Single Mint

「視覚化」からの続き。

階層モデルについて前回までは A Single Coin From a Single Mint 、つまり「1つの造幣局から1つのコインを観察」。今回は Multiple Coins From A single Mint 「1つの造幣局の複数コインの観察」。こちらの方がより現実的なのは明らか。

もっと具体的な例では「記憶力を向上させる薬の効果の分析」。「複数の被験者」が「複数コイン」に相当。それぞれの被験者が「単語をどれだけ記憶できるか」が観測データ。そのデータはが依存するのは被験者の θ_S だけで、この分析で最も注目すべきは ω の推定値。

ここでの最大の関心は、複数コインの偏りではなく全コインの偏りに影響する ω 。

左は図 9.4 で、A Single Coin From a Single Mint の図 9.1 と異なるのは観測データが y_i から、複数コイン（Subject）のデータ y_{i | s} の変更のみ。

これは図 9.5 と 図 9.6 、違いは prior の K = 5 と 75 のみ。ここでは、両方の図を比べながらポイントを示す。以降、図 9.5 を左図、図 9.6 を右図と記す。

prior の違いは「等高線」（ここでは楕円の形のグラフ）。K が小さい左図に比べて、大きい右図では「狭い」等高線。これは、大きい K  では θ が ω  に近似するから。また、ω の分布が「広い」のは A_ω, B_ω が小さいため（「確信のない」ω ）。

左右の図で Likelihood は同じ、表の割合は D₁: 3/15 = 0.2, D₂: 4/5 = 0.8 。

posterior の両者の違いが興味深い。

先ずは左図の posterior p(θ₁|D₁) , p(θ₂|D₂) は、Likelihood で表の割合 0.2, 0.8 の影響を受けた分布を示す（「確信のない」ω  が原因）。ただ、D₁ が D₂ よりデータ数が多い（15 > 5）ため、p(θ₁|D₁) の方が「狭い分布」を示す（より確信がある）。p(ω|D) は prior からの変化は少ない。

次に右図の posterior の p(θ₂|D₂) は、データは 0.8 のピークにも関わらず、0.4 近辺でピークを示す分布。これはサンプル数が多い D₁ の割合 0.2 の影響を受けた ω ( p(ω|D) ) は 0.4 近辺で「狭い」ピーク）が、θ₂ の見積りに影響を与えたため。D₂ も ω , θ₂ に影響はするが、D₂ と比較して小さい。

左右の図における、この posterior の違いの原因は K  の大きさ 5, 75 の違いから来ている（ K が大きいほど θ に近似する）。

現実的なデータ分析において、K  はこのように「定数」ではなく「変数 k 」である。次回は「変数 k 」に拡張した階層モデルで、より現実的な分析を行う。


「Therapeutic Touch を検証」に続く。