Metric 予測 by Metric：Group-Level Parameters & Shrinkage

「相関する切片と傾き」からの続き。

本書の "17.3 Hierarchical regression on individual within groups" から。

前回の「単純回帰分析」では、データは身長 x_j と体重 y_j ペアであった。j は個人を表し、そこでは「一人に一つのペア」であった。ここでは「1 人に複数ペア { x_i|j , y_i|j } データ」を扱う。i | j とは、例えば j という人の i 番目のデータ。

分析内容は、以下の通り

With these data, we can estimate a regression curve for every individual. If we also assume that the individuals are mutually representative of a common group, then we can estimate group-level parameters too.

具体例として

「数年間の子供の読書力スコア」を測る、個々の子供のデータ {年齢、スコア} から個人毎の回帰分析ができ、加えて「子供全体」というグループでの回帰分析（higher-level distributions）ができる。つまり、個人毎スコアの改善傾向と同時に、全体としての改善傾向を分析する。

本分析の実装スクリプト Jags-Ymet-XmetSsubj-MrobustHier-Example.R が使用するデータは以下の通り。

> head(myData,2)
  Subj    X     Y
1    1 60.2 145.6
2    1 61.5 157.3

> ggplot(myData,aes(x=X,y=Y,colour=factor(Subj)))+geom_point(size=6)

本データは架空のテストデータで、例えば「25 人の体重、身長のペア」とすることもできる。データには、複数ペアのデータを持つ個人、ペアが 1 つしかない個人もある。

以下はスクリプト実行例（図 17.5 の上段に相当）。

同一人物のデータは黒色線で結ばれている。赤丸で示した 2 点はペアが 1 つの個人。

青線が group-level の直線回帰モデル。個々の 25 人からは様々なトレンドが見て取れるが、group-level では「正の傾き」を明らかに示している。

以下は、図 17.5 の下段に相当する、個々の直線回帰モデルを示したもの。

個々ではデータの散らばり具合は異なるが、回帰線は概ね「正の傾き」を示している。その訳は

Because of information sharing across individuals, via the higher-level distribution, there is notable shrinkage of the estimates of the individuals.

このことを明確に示すのが、赤枠で囲ったデータが 1 つしかない場合。そこでも、概ね「正の傾き」を示している、たった 1 つのデータにもかかわらず。

shrinkage of estimation in hierarchical models は、「階層型モデル：Therapeutic Touch を検証」「階層型モデル：守備毎打撃力」は既に取り上げている。


以下は今回の分析モデル、正確には "a model of dependencies for robust hierarchical linear regression"（図 17.6）。

一見複雑だが、左の「単純線形回帰」モデル（図 17.2）と比較すれば、その違いは

切片と傾きの分布のパラメータを更に階層化した

だけと分かる。

JAGS の実装は、前回の「単純直線回帰」と同様に標準化したデータを扱う。違いは i | j の対応程度のなので、詳細は割愛する。