Metric 予測：t 分布でMCMC

「外れ値と Robust 推定（ t 分布）」からの続き。

以下はスクリプト Jags-Ymet-Xnom1grp-Mrobust.R に定義されている MCMC モデル。強調フォント行は、正規分布の場合と異なる行。

  model {
  for ( i in 1:Ntotal ) {
    y[i] ~ dt( mu , 1/sigma^2 , nu )
  }
  mu ~ dnorm( meanY , 1/(100*sdY)^2 )
  sigma ~ dunif( sdY/1000 , sdY*1000 )
  nu ~ dexp(1/30.0)
  }

次のずは、このモデルによる分析を Jags-Ymet-Xnom1grp-Mrobust-Example.R で実行した結果（本書図 16.8 に相当）。赤枠の「σ と log10(ν) の正の相関」に注目する。

その相関が意味するのは

a signature of the data having outliers 

データに外れ値があるサイン

左の図16.6「最尤推定」からも、外れ値を含めるには、ν が小さくなるか σ が大きくなる必要がある。



パラメーター推定値は以下のとおり（本書図 16.9 に相当）。

左列最下段の Normality は、mode = 0.614（ν ≈ 4)  のように、prior 1.47（ν ≈ 30) から大きく減少した。つまり「外れ値に対応」したことを示している。ここでは、Normality ν の厳密な推定の必要はなく、正規分布の境界値 = 30 =  log10(1.47) の「上か下か」を見る程度。

正規分布を用いた posterior-predictive check （左図 16.3）と、今回の結果（右列最上段）を比較。今回の t 分布の方が、中央値付近の値や左右の外れ値に、より対応している。

他の推定値を、正規分布での結果と併記する（mode, 95%HDI）。


     μ            σ               Effect Size
norm 107[102,113] 25.4[21.5,30.8] 0.289[0.0492,0.551]
t    107[101,114] 19.3[13.1,26.5] 0.348[0.0695,0.691]

t  分布の方が、mode が小さく、95%HDI が狭い。両分布の外れ値への「反応」が数値に出ている。

「2 グループ比較」に続く。