Metric 予測 by 複数 Nominal：Crossover Interaction

「Hetero な給料の分析」からの続き。

複数の predictors モデルでは避けられない interaction について。本書の "20.3 Rescaling can change interactions, homogeneity, and normality" をもとにした。

ポイントは以下の 2 点。

• crossover interaction の判断は、尺度変換を考慮して行うこと。
• データの homogeneity or nonhomogeneity of variances に対応したモデル化を行うこと。

これらを具体例で確認する。


尺度変換を考慮

次は架空のデータで、収入額を支持政党と性別で表したもの（数字の単位は任意）。

           women  men
Democratic  10    12
Republican  15    18

「有利」な支持政党と性別の組合せを次のように考えた。

　男女差は、Dem は 2 で Rep は 3 、よって「男は Republican」
　Rep と Dem の差は、女は 5 で男は 6、よって「女は Democratic」

これは additive or subtractive differences による推定、ここでは不適切。次のように「比率」で推定するのが適切。

　Dem：(12-10)/10 = 0.2、Rep：(18-15)/15 = 0.2 より
　男 から 女への変化は、支持政党は無関係に、20 %収入増を予測

　女：(15-10)/10 = 0.5、男：(18-12)/12 = 0.5 より
　Democrat から Republican への変化は、性別は無関係に、50 %収入増を予測

つまり

収入の多寡において、支持政党と性別には interaction は無い

とするのが妥当。

また、比率による推定の前は interaction を予測したが、a mere rescaling of the data makes the interaction disappear（尺度の変更で interaction が消滅）という認識は必要。なお、次のように logarithmic transformation（対数変換）しても比率と同様の結果を得られる。

> log10(12)-log10(10)
[1] 0.07918125
> log10(18)-log10(15)
[1] 0.07918125
> log10(15)-log10(10)
[1] 0.1760913
> log10(18)-log10(12)
[1] 0.1760913


次は図 20.6 、predictors の x₁, x₂ の変化と predicted の y の変化。下段は y 値を対数に rescale したもの。

上段左 Non-crossover Interaction には

「x₁ が大きくなる効果は、x₂ = 2 の方が x₂ = 1 より大きい」という interaction がある

と見ることができる。ところが、その下段の対数変換したグラフには interaction は無い。なお、下段から上段に変更（an exponential transformation 指数変換）の場合はその逆で  interaction 発生となる。

データ変換による interaction 有り／無しの変化は、non-crossover interactions の可能性を示すもの。ちなみに、ここでの "non-crossover" という用語は、単にグラフ上のことで、

ライン同士は cross over せず、正負は同じ符号

図 20.6 の中央と右は同じデータで、x 軸の predictor を入れ替えているだけ。このデータには crossover interaction が見られる。中央は cross over し、右は opposite-sign slope（正負が異なる）。また、左の non-crossover interaction と異なり、y 軸のスケールを変えても（データ変換しても）interaction は無くならないことを示している。


モデル化は homogeneity or non-homogeneity of variances を考慮

例えば  {100, 110, 120} と {1100, 1110, 1120} において、標準偏差は同じ。

> sd(c(100,110,120))
[1] 10
> sd(c(1100,1110,1120))
[1] 10

つまり、homogeneity of variance 。ところが、対数変換したデータの標準偏差は異なる。

> var(c(log10(100),log10(110),log10(120)))
[1] 0.0015685
> var(c(log10(1100),log10(1110),log10(1120)))
[1] 1.530908e-05

つまりここでは、データ変換した場合「homogeneity of variance は無くなった」。

このように、データ分析において、homogeneity of variance へデータを変換するか、non-homogeneity of variance に対応したモデル変更をする必要がある。


「Hetero 分散と外れ値への対応」に続く。