Metric 予測 by One Nominal：Analogous to ANCOVA

「Covariate 導入」からの続き。

fruit fry の「生存期間」データには、5 グループの nominal predictor の他に、metric な　Thorax（胴体サイズ）が含まれる。

> summary(myDataFrame)
   Longevity      CompanionNumber     Thorax     
 Min.   :16.00   None0    :25     Min.   :0.640  
 1st Qu.:46.00   Pregnant1:25     1st Qu.:0.760  
 Median :58.00   Pregnant8:25     Median :0.840  
 Mean   :57.44   Virgin1  :25     Mean   :0.821  
 3rd Qu.:70.00   Virgin8  :25     3rd Qu.:0.880  
 Max.   :97.00                    Max.   :0.940  

> ggplot(myDataFrame, aes(x=Thorax,y=Longevity))+geom_point()
> cor(x = myDataFrame$Thorax, y=myDataFrame$Longevity)
[1] 0.6364835

左のように、Thorax と Longevity は正の相関が見て取れる。相関係数 0.63 はそれほど大きくない。これは、グループ分けが生存期間に影響したと考えられる。

とはいえ、単純に「身体が大きいほど生存期間が長い」という相関関係は、常識的にも納得する。

ランダムに 5 グループに分けられた fruit fry の 胴体サイズは、グループ内で「ちらばり」があるので、これを covariate として導入する。


推定結果

以下は、Jags-Ymet-Xnom1met1-MnormalHom-Example.R の実行結果（図19.5上段に相当）。左から None0, Pregnant1, Pregnant8, Virgin1, Virgin8 。

重ねた青線は β₀ + β_[j] + β_covx_cov の MCMC サンプリング結果。コントロールグループよりも Virgin1,8 の y 切片が小さいことが見れる。

以下は、「グループ内のちらばり具合」（the within-group noise standard deviation）を示す ySigma（図19.4 の σ_y ）の推定値、左が前回の「covariate 無し」で、右が今回。

Density の中央値は 15 から 10.5 に減少、つまり「ちらばり具合」が低下した。

この「ちらばり具合の低下」は、グループ比較にも影響する。以下は図19.5下段に相当。

コントロールグループと Virgin1 の比較（右から 3 番目）で、Difference の 95%HDI が 4 〜 13 日と、「covariate 無し」の前回の結果 0.3 〜 13 日より区間が狭まった。そして、明らかに「ゼロを外している」。他の比較でも、covariate の導入によりグループ間の違いはより明確になった。

つまり a more certain estimate than without the covariate ということ。

traditional frequentist methods において、今回の分析方法を ANCOVA と呼ぶそうだ。しかし

Bayesian methods do not partition the least-squares variance to make estimates, and therefore the Bayesian method is analogous to ANCOVA but is not ANCOVA.

「Hetero分散と外れ値への対応」に続く。