Metric 予測 by One Nominal：MCMCの前準備

本投稿は John Kruschke 著 Doing Bayesian Data Analysis の第 19 章 "Metric Predicted variable with One Nominal Predictor" をもとにした。

Doing Bayesian Data Analysis, Second Edition: A Tutorial with R, JAGS, and Stan

John Kruschke

Academic Press
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本章では、前章同様に predicted（推定）する y は metric だが、predictor（変数）が 1 つの nominal variable という点が異なる。

この nominal とは「順序のない、分類する、カテゴリカル」。Wiktionary の解説がわかり易い。

本章での MCMC での推定の前に、"15.2.4.1 Linear model for a single nominal predictor" をもとに、本モデルのシンプルな解説を行う。

表記上の注意：x^→ のように、右肩に → ある表記は「vector（ベクトル）」を意味する。本来 → は x の「真上」。ところで「昔の人」が vector を「ベクター」と訳さなかったのは何故....。

vector x の例を示す。

　x が「性別」の場合：
　x^→ = <1, 0> ：男、x^→ = <0, 1> ：女

　x が「支持政党」の場合：
　x^→ = <1, 0, 0, 0, 0> ：Green, x^→ = <0, 1, 0, 0, 0> ：Democrat, x^→ = <0, 0, 1, 0, 0> ：Republican, ...

これらは全て nominal variables 。

次に、モデルを数式化する前に、今回のモデルの単純な例を示す。

「性別から身長を推定する」モデルでは「baseline 値」は平均身長。predictor が「男」の場合、身長は baseline 値に対して「プラス」に働く（本書では "an upward deflection to the predicted height" と記述）。「女」の場合は、「マイナス」に働く（"a downward deflection to the predicted height"）。

実は、以下のように数式化した方がわかり易い。

baseline 値を β₀ , jth の deflection を β_[j] として

　y = β₀ + β_[1] x_[1] + ... + β_[J] x_[J]
　   = β₀ + β^→ . x^→

β^→ . x^→ は "dot product" of the vectors 。


合計ゼロの制約

baseline 値の設定例。男の平均が 1.76, 女の平均が 1.62 の場合、baseline 値値を 1.69 する。よって、baseline 値から男なら +0.07 、女なら -0.07 となる。

左の式 15.4 が示すのは

the baseline is constrained so that deflections sum to zero across the categories

以下の図 15.4 は、先の「支持政党」の例。

全ての係数の合計は 4 + (-3) + (-2) + 6 + (-5) = 0 という具合に、式 15.4 の制約通り。

「Analogous to ANOVA」に続く。

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