Linearity：線形性とは

本投稿は、長野裕之著「ふたたびの微分・積分」の P252 - 253 から。

ふたたびの微分・積分

永野 裕之

すばる舎
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微積とはほとんど関係ないが、妙に関心した。ほとんど引用してしまったが、グラフ描画ソフト GeoGebra を初めて使うには良い題材となった。


「線形性」とは

「線形性」とは「グラフが線の形の関数の性質」のことだと思ってください。「グラフが線の形の関数」とは、すなわち「一次関数」です。

一次関数は f (x) = ax + b だが、微分や不定積分の「線形性」は特に  f (x) = ax の場合に成り立つ次の性質のことを言う。

　　(1)  f (p + q) = f (p) + f (q)
　　(2)  f (kp) = k f (p)

　　まとめると f (kp + lq) = k f (p) + l f (q)

これらをグラフにする。

(1) f (p + q) = f (p) + f (q)

塗りつぶした三角形の二つは、斜辺を除く二つの辺 p, f (p) が等しく、角度も等しい。よって、合同。

GeoGebra ファイル

(2)  f (kp) = k f (p)

大小の三角形の関係は相似。

GeoGebra ファイル


例えば、二次関数 f (x) = x² の場合は、次のように成り立たない。

　　f (1 + 2) = (1 + 2)² = 9,  f (1) + f (2) = 1 + 4 = 5 よって f (1 + 2) ≠  f (1) + f (2)

　　f (2 × 3) = (2 × 3)² = 36,  2 × f (3) = 18 よって f (2 × 3) ≠ 2 × f (3) 

「微積分の基本定理」に続く。