- What is Pascal's Triangle? (Part 1)
- What is Pascal's Triangle? (Part 2)
- How to Quickly Add the Integers From 1 to n?
本投稿の図もこれら記事から。
「パスカルの三角形」は以前も投稿したが、今回はもっとシンプルにその特徴を取り上げる。
1 から n までの自然数の和
数学者ガウスの逸話で有名な「1 から100までの自然数の和」の算出方法
Math Dude の記事では
(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (99 + 2) + (100 + 1)
= 101 * 50
= 5,050
となっていたが、私の記憶では、以下のように
1, 2, 3, ...., 99, 100
100, 99, 98, ..., 2, 1
よって
101 * 100 / 2
つまり
1 から 100 と 100 から 1 を上下に並べて、上段と下段を足した値（101）に個数（100）を掛けて 2 で割る
というものだった。
以下、この100を n にして「1 から n までの自然数の和」の式を求める。
三角数
三角数（さんかくすう、英: triangular number）とは多角数の一種で、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数に合致する自然数である。n番目の三角数は1から n までの自然数の和に等しい。Wikipedia
つまり、この三角数こそが「1 から n までの自然数の和」。例えば、1, 3, 6, 10 の三角数は、それぞれ「1 から n までの自然数の和」における n が 1, 2, 3, 4 の時の数。
この三角数のパターンを数式化したものが、1 から n までの自然数の和。
n * (n + 1) / 2
「パスカルの三角形」の数列
斜め1列目：1だけの数列（自然数の単数）
斜め2列目：自然数の数列
斜め3列目：三角数の数列
4, 5 列目もある数列なのだが、ここでは割愛。
そして、各段の数列は、確率の計算に使えるもの。例えば、4 段目の「1, 3, 3, 1」は
50% の確率で表が出る 4枚のコインを投げて、表が出る数「0, 1, 2, 4」の回数は「1, 3, 3, 1」である
つまり、全体の事象の数は 1 + 3 + 3 + 1 = 8 より、表が「0, 1, 3, 4」枚になる確率はそれぞれ「1/8, 3/8, 3/8, 1/8」ということ。
5枚のコインの場合、「パスカルの三角形」の5段目から、表（or 裏）の枚数が「0, 1, 2, 3, 4, 5」になる確率は、それぞれ「1/16, 4/16, 6/16, 4/16, 1/16」になる。
少々強引だが、左図のように「パスカルの三角形」の斜めの数列を縦に並べて、斜めに足した数字
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
フィボナッチ数列が見つかる。
ロボットに勝る数学的思考
中学生か高校生の頃、「1 から 100 の合計値」の解法を知った時に、併せて n * (n + 2) / 2 の式を習ったかどうか記憶にない。「元の数列を二つ使って、ひっくり返して足す...」ことをだけはイメージとして残っていた。
明らかなのは、「パスカルの三角形」と関連して学んだ記憶はない。やっぱり学校の数学て「公式暗記型科目」が色濃かったということか。「数のパターンを見つける」「数式でもモデル化する」みたいな、教え方はされなかった。「論理的に考えることを学ぶ」の第一歩として、数学が最も適切なのに。
なんとも勿体ない話です。
「はじめまして数学」でも書いたが、中高の数学教育では、歴史的背景も含めて「数学のエッセンス」を教えるべき。機械的に採点できる受験のための数学なんて、魅力があるとは思えない。確かに「計算が速い」「公式を使える」能力は無視できないが、そんなものは機械にも任せられるし、公式なんて調べれば分かる。
「黄金比を神の比率」と「不用意」に崇める背景には、「論理的に考えられない」ことにもあると思う。
ちなみに、「計算は機械に任せられる」と書いたが、昨日から読み始めた本で、新たな2桁の数の掛け算の方法を知った。
96 * 97 = 9300 + 12 = 9312
何故こうなるのかは割愛するが、この方法で少なくとも電卓より速く計算できる。こんな風に「計算速度」なんて、後でいくらでも鍛え直すことができる。「数学のエッセンス」こそが、誰もが身につけるものだし、身につけられるものだと思う。
数学に怯える構図て、闇雲にロボットに怯える構図に似てるようだ。
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