自然対数（「素数に憑かれた人たち」より）

log x の増加のしかたは遅い。log x の増加の遅さは見事なもので、そのこと自体が重要だ。大切なのは、log x が x の何乗よりも増え方が遅いところである。P.101

John Derbyshire 著（松浦俊輔訳）「素数に憑かれた人たち：リーマン予想への挑戦」 の P.101 以降から、読み進められなくなった。理由は明らかで、自然対数（ネイピア数 e を底とする対数、log x）が分かっていなかったから。

ちなみに e とは

> exp(1)
[1] 2.718282
> exp(0)
[1] 1

という無理数。log x とは、本書から引用すると

log x は x = e^b が成り立つような b のことなので、当然 x = e^{log x} となる。これは数学的に書いた log x の定義にほかならない。P.98

x = e^{log x}

つまり

> log(7)
[1] 1.94591
> exp(1)^log(7)
[1] 7

log x をグラフで見ると

> par(mfrow=c(2,1))
> curve(from=0,to=50,log(x))
> curve(from=0,to=5000,log(x))

冒頭の「log x の増加のしかたは遅い」は、左のグラフで見て取れる。x 軸を 100 倍先に伸ばしてようやく 2 倍程度に増加。

以下のグラフは P.102 図5-3 の再現（一部変更）

赤い点線が log x の自然対数、他の黒い実線が 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 を指数 a とする x^a の曲線。ここに、図 5-3 にはない、a = 1/e の「青い」曲線を追加した。

curve(from=0,to=10,x^0.5,ylab="x^a")
curve(from=0,to=10,x^0.4,add=T)
curve(from=0,to=10,x^0.3,add=T)
curve(from=0,to=10,x^0.2,add=T)
curve(from=0,to=10,x^0.1,add=T)
curve(from=0,to=10,log(x),add=T,col="red",lty=2)
text(10,2.5,0.4); text(10,2.0,0.3)
curve(from=0,to=10,x^(1/exp(1)),add=T,col="blue",lwd=3)

曲線 a = 1/e を付け加えたのは、この引用

a が小さくなればなるほど、x^a のグラフは平坦になることがわかる。a の値が一定のところより下については（実際には a が 1/e 、つまり 0.3678794... より小さいとき）、対数関数は x があまり大きくならないところで（e^a 、つまり 15.1542... より手前で）x^a と交わる。

の意味が、文章だけでは把握できなかったから。グラフにしてみると一目瞭然。

ただし、わからなかったこともあある。それは、下線部を入れた「e^a より手前で x^a と交わる」という箇所。稚拙な方程式を組んだりして、ああだこうだと悩んだ末に読んだ幾つかの情報から、今の私の知識では明確に解けないことがわかった。ちょっと悲しかったけど、今後の目標にすれば良いと、開き直った。先ずは、わからないことを知ることこそが重要 なのだ (^^)v

では、先の図 5-3 の先（ x 軸の右側）はどうなるのか？つまり、log x が a = 0.3 や 0.2 などと交差するのか（log x が「下」にくることはあるのか）ということ。

本書によれば、x^0.3 と交わるのは x = 379 の少し先、とのこと。x^0.2 については、以下のグラフより
curve(from=0,to=40*10^4,x^0.2,ylab="x^a",add=F)
curve(from=0,to=40*10^4,x^0.1,add=T)
curve(from=0,to=40*10^4,log(x),col="red",lty=2,add=T)
text(3e+5,4,0.1);text(3e+5,12,0.2)
abline(v=332105,col="green");text(3e+5,0,"333,105",col="green")

x = 332,105 （緑の垂直線）あたり、とのこと。そして、x^0.1 と交差するのは x = 3,430,631,121,407,801 を過ぎてから、だそうです（^^)

ここまでしなくても、図 5-3 から、x^0.0000001 であったとしても、 log x は「いずれは」その曲線より下になると想像できる。

まるで log x は x⁰ になろうとしているかのようだ。もちろん x⁰ ではない。P.103

「何故にそうなるのか」「それが何の役に立つのか」の疑問には、ここでは答えません。もしかして、今後も答えないかもしれません。

この投稿では単に「対数曲線（log x）てどんなんだろう」を先ずは理解したかっただけ。この理解が、いずれ何かに繋がることだろう。

PS
「何かの役に立つ」という表現はあえて避けた。それが「数学」という気がするし、もしかして「知識全般」とは、そういうものかもしれない。