二項定理：微分係数の導出準備

永野裕之著「ふたたびの微分・積分」から。

ふたたびの微分・積分

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永野 裕之
すばる舎
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　問題：(a + b) を 3 回掛け（3 乗す）ると、a²b の係数の値は？
　答え：次のように展開して、答えは 3 。

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

では

　問題： (a + b)¹⁰ の a⁷b³ の係数は？

ここで必要なのは、「展開しないで求める方法」。


二項係数は組合せの数

二項係数については、「パスカルの三角形」も参照。

a²b の係数は、以下のように「b を 1 つ選ぶ組合せの数」のこと。

　(a + b) × (a + b) × (a + b)
　 　a　　　 a　　　 b
　 　a　　　 b　　　 a

　 　b　　　 a　　　 a

つまり「3 つから、b を 1 つ選ぶ組合せの数」となり

₃C₁ = 3

補足：つまり「3 つから、a を 2 つ選ぶ組合せの数 ₃C₂ = 3」でも同じだが、本書によれば「二項定理では b に注目するのがふつう」とのこと。

よって (a + b)¹⁰ の a⁷b³ の係数は、「10 つから b を 3 つ選ぶ組合せの数」で ₁₀C₃ = 120 。以上を一般化したのが

二項係数

(a + b)ⁿ の a^n-kb^k の係数は _nC_k

(a + b) のように「2 つの項のからなる式」を二項式、その展開式が二項係数で、それらの係数は組合せの数 _nC_k となる。

つまり

二項定理

(a + b)ⁿ = _nC₀ aⁿ + _nC₁ a^n-1b + _nC₂ a^n-2b² +
... + _nC_k a^n-kb^k + ... + _nC_n bⁿ

一般項

脚色した項が「二項定理の一般項」 _nC_k a^n-kb^k  。よって、(x² + 1/x)⁵ の 一般項（ k 番目の項）を求めると

₅C_k (x²)^5-k (1/x)^k  _{= 5}C_k × x^10-2k × 1/x^k 

_{= 5}C_k × ( x^10-2k / x^k )

_{= 5}C_k × x^10-3k

(x² + 1/x)⁵ を展開した式の「x の項」の係数は

x^10-3k = x¹

∴ 10 - 3k = 1 よって k = 3

この k の値を、先に求めた ₅C_k × x^10-3k に代入して

₅C₃ × x^10-3×3 = (5×4×3)/(3×2×1) × x = 10x

求める係数は 10 となる。つまり

(x² + 1/x)⁵ を展開すると、項 x の個数は 10 個

を意味する。

「導出：微分係数の公式」に続く。