導出：微分係数の公式

「二項定理：微分係数の導出準備」からの続き。

高校の頃、微分積分の授業は比較的簡単だった。むしろ「確率・統計」の問題の方が断然苦手だった。

微分係数の公式

f(x) = xⁿ のとき f'(a) = na^n-1

この公式により、例えば、f(x) = x² の微分係数は f'(x) = 2x のように、半ば機械的に求めることができる。非常に覚えやすい公式なので、実際に「機械的に」使っていた。この点も「微積」が取り組みやすかった理由の一つ。

とはいえ、「極限」という考え方を抜きに「微分積分は語れない」。

私が高校の頃、大学生だった実の兄に「微積って、結局何なの？」という疑問をするほどなので、微分・積分をちゃんと理解はしていなかった。大学入試程度の微積の問題は、大抵解けていたにもかかわらず...。兄貴の答えは「極限やな...、それよりもっと難しい問題を出そうか」とかいうものだった（笑）

ここでは、微分係数の公式を本書に従い導く。

ふたたびの微分・積分

永野 裕之

すばる舎

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以下は、x = a の微分係数、つまり「x = a 地点での曲線 f(x) への接線の傾き」である。

「h が限りなく 0 に近づく」、つまり「a+h が限りなく a に近づく」こと。

この「極限のイメージ」が、高校生の頃には難しかった。とはいえ、「加速度」などの物理の内容と重ねながら、何となくはイメージできたような気はする。今ほどの重要性は感じていないにせよ。

さて、先の微分係数の分子 (a+h)ⁿ を前回の二項定理で展開する。

一見すると「ごっつい式」だが、そうでもない。二項定理のおかげです。

この展開した式を、先の極限値に代入する。

これは、「分母を 0 にする要因を取り除く」処理の後、近づく値（この場合は h = 0）を代入して

f'(a) = na^n-1

となる。

/* tex */