BN で Monty Hall 問題（シンプル版）

「Marginalization by Variable Elimination：BN 変数除去」からの続き。

Monty Hall 問題を Bayesian Network で解く。Monty Hall 問題は、このブログで 5, 6 回以上取り上げている。感覚で容易に理解できる解法もあるが、こうやって数値で表すと極めて Bayesian 的であることが分かる良い問題。

Monty Hall 問題をご存知ない場合は「The Monty Hall Problem モンティホール問題」を参照。

ここでは、本書にの例の通り、今回「シンプル版」と次回「複雑版」を取り上げる。

以下が初期状態の BN モデル（図 6.22）。

Prize Door：「当たり」のドアの確率、初期値は平等に 1/3 。
Door Picked：回答者が選ぶ各ドアの確率、初期値は平等に 1/3 。
Door Shown Empty：司会者が空のドアとして開ける各ドアの確率、初期値は平等に 1/3 。


このモデルに、ゲームの進行通りに値を入力して確率の変化を見る。

始めに回答者が選んだドアを Red とする（左図6.23 Door Picked）。

次に司会者の Monty は回答者の選ばなかったドアの一つを開ける。残る 2 つのドアからの選択なので、よって確率は 50 : 50（Door Shown Empty）。

司会者が選んだのは Blue のドアの場合（左図 6.24）。

Prize Door で確率が Red : Green = 33.3...% : 66.6...% = 1/3 : 2/3 と変化。つまり、Green が当たりの確率は、1/3 から 2/3 へ上昇。

結果、この確率から回答者が選ぶドアは Green が妥当ということ。

当然だが、これは「The Monty Hall Problem 再び」等で記した結果と同じ。


NTP (Node Probability Table)

Prize Door, Door Picked は「独立」（or 「親」）事象なので、NTP (Node Probability Table) は恣意的に決まる。重要なのは以下の Door Shown Empty の NTP（表 6.5 NTP for the Node Door Shown Empty）。

この表は、各カラムが Prize Door, Door Picked の条件で、Red, Blue, Green を選ぶ確率の変化の一覧。

例えば第 1 カラムは、Prize Door が Red, Door Picked が Red の場合、Blue : Green = 50 : 50 の確率、既に回答者が Red を選択しているので Red は選ばない 。このように impossible event「あり得ないこと」も明記する。

第 2 カラムの場合、Prize Door が Red, Door Picked が Blue の場合、回答者が選んでいない Red と Blue の内で Red が「当たり」なので、司会者が選べるのは Green のみとなる。

「BN で Monty Hall 問題（複雑版）」に続く。